Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 373]

Задача 64406

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Точка Лемуана	]

Сложность: 4

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Из точки H провели перпендикуляры к прямым B₁C₁ и A₁C₁, которые пересекли лучи CA и CB в точках P и Q соответственно. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую A₁B₁, проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64917

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC. Рассматриваются прямые l, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78072

Темы:	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Гомотетичные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 11

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше $\sqrt{2}$ r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 79262

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Подобные фигуры	]

Сложность: 4
Классы: 10

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость гангстера равна 2,9 максимальной скорости полицейского. Полицейский хочет оказаться вместе с гангстером на одной стороне квадрата. Всегда ли он сможет этого добиться?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108103

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Дан треугольник ABC. В нём H – точка пересечения высот, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности, K – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки IO || BC. Докажите, что отрезки AO || HK.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 373]