Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 372]

Задача 54838

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Разность сторон AD и BC равна разности сторон AB и CD. Докажите, что диагональ AC — диаметр описанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67103

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведения противоположных сторон равны. Точка $B'$ симметрична $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $A$, $B'$, $D$, касается прямой $AC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67113

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 108518

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность, пересекающая боковые стороны AC и CB равнобедренного треугольника ACB соответственно в точках P и Q, является описанной около треугольника ABQ. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке D так, что AQ : AD = 4 : 3. Найдите площадь треугольника DQB, если площадь треугольника PQC равна 3.

Прислать комментарий Решение

Задача 108519

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Площадь равнобедренного треугольника PQR равна 12. На боковых сторонах PQ и RQ взяты соответственно точки B и C так, что вокруг четырёхугольника PBCQ можно описать окружность и PQ : BC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника APQ, где A — точка пересечения отрезков PC и BQ.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 372]