Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что  A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃,  то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

   Решение

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 402]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66230

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что  CG = DF.  Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73642

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что  A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃,  то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105205

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что  AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108114

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно.
  а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник KLMN – параллелограмм.
  б) Найдите все такие точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108211

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка M, а внутри треугольника AMD точка N, причём  ∠MNA + ∠ MCB = ∠MND + ∠MBC = 180°.
Докажите, что прямые MN и AB параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 402]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями