ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Методы >> Индукция
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

a, b и n – натуральные числа, и n нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби     делятся на n, то и сама дробь делится на n.

Вниз   Решение

Доказать, что если в треугольной пирамиде две высоты пересекаются, то две другие высоты также пересекаются.

ВверхВниз   Решение

На кошачьей выставке каждый посетитель погладил ровно трех кошек. При этом оказалось, что каждую кошку погладили ровно три посетителя.

Докажите, что посетителей было ровно столько же, сколько кошек.

ВверхВниз   Решение

Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках A, B, C,  ∠ABC = 90°.  Точки касания – K, P и M; точка P лежит на стороне AC. Найдите угол KPM.

ВверхВниз   Решение

Автор: Дориченко С.А.

Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 1996 или с периметром 1998?
(Прямоугольники a×b и b×a считаются одинаковыми.)

ВверхВниз   Решение

Некоторые из чисел a1, a2,...an равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$a1 + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =
         = a1$\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$.

В частности, при a1 = a2 = ... = an = 1, имеем:

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =
         = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 412]      

  с решениями  

Задача 110026

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тухвебер С.

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+an3=(a1+a2+..+an)2.

Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58201

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Раскраски ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.
Прислать комментарий     Решение

Задача 67369

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Пучков П.

Для каких $n>0$ можно отметить на плоскости несколько различных точек и несколько различных окружностей так, чтобы были выполнены следующие условия:

- через каждую отмеченную точку проходит ровно $n$ отмеченных окружностей;

- на каждой отмеченной окружности лежит ровно $n$ отмеченных точек;

- у каждой отмеченной окружности отмечен еe центр?
Прислать комментарий     Решение

Задача 76515

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Некоторые из чисел a1, a2,...an равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$a1 + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =
         = a1$\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$.

В частности, при a1 = a2 = ... = an = 1, имеем:

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =
         = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 77960

Темы:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 412]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .