Версия для печати
Убрать все задачи

---

На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 288]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97760

Темы:   [ Инварианты ] [ Деление с остатком ] [ Процессы и операции ] [ Теория групп (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97775

Темы:   [ Инварианты ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).

На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если
  а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках;
  б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97836

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Перестановки и подстановки ] [ Процессы и операции ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107841

Темы:   [ Инварианты ] [ Производная в точке ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

  На доске написаны три функции:  f₁(x) = x + ¹/_x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f₁,  f₂,  f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58177

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 7 Классы: 8,9

Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 288]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями