Версия для печати
Убрать все задачи

---

30 девочек – 13 в красных платьях и 17 в синих платьях – водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?

   Решение

---

Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать на части и сложить из них прямоугольник со стороной 1.

   Решение

---

2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по  x₁, ..., x₂₀₁₁  кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по  y₁, ..., y₂₀₁₁  кг цемента соответственно, причём
x₁ + x₂ + ... + x₂₀₁₁ = y₁ + y₂ + ... + y₂₀₁₁. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел x_i и y_i и любой схеме дорог?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 102]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79382

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Десятичная система счисления ] [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_n+1 ≤ 10a_n  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35077

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Последовательность f(n) (n=1,2,...), состоящая из натуральных чисел, такова, что f(f(n))=f(n+1)+f(n) для всех натуральных n. Докажите, что все члены этой последовательности различны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30609

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел такова, что  a_n+2 = a_n+1a_n + 1 при всех n.
  а)  a₁ = a₂ = 1.  Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
  б) Докажите, что  a_n – 22  – составное число при любом n > 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98235

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Периоды двух последовательностей – 7 и 13. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98246

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгоритм Евклида ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 102]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями