Незнайка хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Знайка утверждает, что это невозможно. Прав ли Знайка?

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 201]      

Докажите, что число  2²ⁿ – 1  имеет по крайней мере n различных простых делителей.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что числа p и  p + 2  являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Прислать комментарий

Решение

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором  a^k ≡ 1 (mod p).  Докажите, что  p – 1  делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Пусть p – простое число и  p > 3.
  а) Докажите, что если разрешимо сравнение  x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то  p ≡ 1 (mod 6).
  б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Пусть p – простое число и  p > 5.  Докажите, что если разрешимо сравнение  x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то   p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 201]