Страница:
<< 99 100 101 102
103 104 105 >> [Всего задач: 12601]
На сторонах треугольника
ABC внешним образом
построены треугольники
ABC',
AB'C и
A'BC, причем сумма
углов при вершинах
A',
B' и
C' кратна
180
o. Докажите,
что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в
одной точке.
а) На сторонах
BC,
CA и
AB треугольника
ABC
(или на их продолжениях) взяты точки
A1,
B1 и
C1, отличные
от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности
треугольников
AB1C1,
A1BC1 и
A1B1C пересекаются
в одной точке.
б) Точки
A1,
B1 и
C1 перемещаются по прямым
BC,
CA
и
AB так, что все треугольники
A1B1C1 подобны одному
и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения
описанных окружностей треугольников
AB1C1,
A1BC1 и
A1B1C
остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются
не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
Пусть
H — точка пересечения высот
треугольника
ABC, а
AA' — диаметр его описанной окружности.
Докажите, что отрезок
A'H делит сторону
BC пополам.
Через вершины
A и
B треугольника
ABC проведены
две параллельные прямые, а прямые
m и
n симметричны
им относительно биссектрис соответствующих углов.
Докажите, что точка пересечения прямых
m и
n лежит на
описанной окружности треугольника
ABC.
Прямые
PA и
PB касаются окружности с центром
O
(
A и
B — точки касания). Проведена третья касательная
к окружности, пересекающая отрезки
PA и
PB в точках
X
и
Y. Докажите, что величина угла
XOY не зависит от
выбора третьей касательной.
Страница:
<< 99 100 101 102
103 104 105 >> [Всего задач: 12601]