Страница:
<< 47 48 49 50
51 52 53 >> [Всего задач: 288]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число a > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N² чисел. При каких N это могло случиться?
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно
выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины
этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся.
Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который
отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу
отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345 + 6 + 789 = 13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?
Страница:
<< 47 48 49 50
51 52 53 >> [Всего задач: 288]