Каталог по темам

Задачи

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 606]

Задача 78515

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... образована по закону: a₀ = a₁ = 1, a_n+1 = a_na_n–1 + 1. Доказать, что число a₁₉₆₄ не делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78578

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Все целые числа от 1 до 2n выписаны в строчку. Затем к каждому числу прибавили номер того места, на котором оно стоит.
Доказать, что среди полученных сумм найдутся хотя бы две, дающие при делении на 2n одинаковый остаток.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78650

Темы:	[	Деление с остатком	]
Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше ^q²/₂, каково бы ни было q.
Перечислить все числа, обладающие этим свойством.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78688

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

На поверхности кубика мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на чёрный стол (причём в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже даёт отпечаток.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 79534

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что при простых p_i ≥ 5, i = 1, 2, ..., 24, число делится нацело на 24.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 606]