Страница:
<< 27 28 29 30
31 32 33 >> [Всего задач: 328]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных
единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не
больше ¼.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Докажите, что при n > 1 число 11 + 3³ + ... + (2n – 1)2n – 1 делится на 2n, но не делится на 2n+1.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Обозначим через [n]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего n сомножителей, в последнем – n единиц.
Докажите, что [n + m]! делится на произведение [n]!·[m]!.
Для n = 1, 2, 3 будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию
1, (n + 2), (n + 2)², ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
На отрезке [0; 1] задана
функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна,
f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел
x1 и
x2, сумма которых не
превосходит 1, величина
f (x1 + x2) не превосходит суммы величин
f(x1) и
f(x2).
а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x2) ≤ 2x.
б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x2) ≤ 1,9x?
Страница:
<< 27 28 29 30
31 32 33 >> [Всего задач: 328]
Фильтр
