Версия для печати
Убрать все задачи

---

На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить "Да" или "Нет" на вопрос: "На острове рыцарей больше, чем лжецов?". Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов "Да" и "Нет" было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов "Да" было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?

   Решение

---

Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал "по клеткам". Если после очередного сдвига ровно одна клетка у $M$ лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали $M$ по описанным правилам.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79356

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Бесконечные пределы и пределы на бесконечности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости найдётся точка A, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных прямых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110127

Темы:   [ Биссектриса угла ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

На плоскости отметили n  (n > 2)  прямых, проходящих через одну точку O таким образом, что для каждых двух из них найдётся такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведённые прямые делят полный угол на равные части.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52479

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Неравенства с углами ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Общие четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109669

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58150

Темы:   [ Невыпуклые многоугольники ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями