Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]

Задача 35538

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Несколько отрезков покрывают отрезок [0, 1].
Докажите, что среди них можно выбрать несколько непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше ½.

Подсказка

Начните выбрасывать отрезки, которые покрываются другими отрезками.

Решение

Используем индукцию по числу отрезков, покрывающих отрезок [0, 1].
База. Для покрытия одним отрезком утверждение очевидно.
Шаг индукции. Пусть отрезок [0, 1] покрыт n + 1 отрезком. Если среди них имеется отрезок, который покрыт остальными, то выкинем его из покрытия и воспользуемся предположением индукции.
Пусть таких отрезков нет. Обозначим отрезки I_i = [a_i, b_i] так, что a₁ < a₂ < ... < a_n. Тогда b_i < b_i+1 для каждого i. С другой стороны, b_i < a_i+2, иначе отрезки I_i и I_i+2 покрывали бы отрезок I_i+1. Значит, отрезки с нечётными номерами попарно не пересекаются, как и отрезки с чётными номерами. Поскольку все отрезки образуют покрытие отрезка [0, 1], либо сумма длин отрезков с чётными номерами, либо сумма длин отрезков с нечётными номерами не меньше ½. Тем самым найдена искомая система непересекающихся отрезков.

Прислать комментарий

Задача 60446

Темы:	[	Покрытия	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что в условии задач 60445 б) и в) числа ¹/₅ и ¹/₂₀ нельзя заменить большими величинами. >

Решение

На рисунке приведена схема покрытия прямоугольника фигурами, где цифры на отдельных частях показывают какими из фигур покрыты соответствующие участки. Эта схема показывает, что оценки ¹/₅ и ¹/₂₀ точны.

Прислать комментарий

Задача 78158

Темы:	[	Покрытия	]
Темы:	[	Геометрические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Обозначим через a наибольшее число непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых лежат внутри многоугольника M, через b — наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник M. Какое число больше: a или b?

Решение

Рассмотрим n непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых принадлежат многоугольнику M. Заменим каждый круг концентрическим с ним кругом радиуса 1. Если полученные таким образом круги не покрывают какую-либо точку A многоугольника M, то эта точка будет удалена от центров всех кругов не меньше чем на 1; поэтому круг диаметра 1 с центром A не пересекается ни с одним из первоначальных кругов диаметра 1, и его можно прибавить к этим кругам, что, однако, противоречит определению числа n. Поэтому n рассматриваемых кругов радиуса 1 полностью покрывают многоугольник. А так как m — наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть многоугольник M, то m $\le$ n.

Прислать комментарий

Задача 78618

Темы:	[	Покрытия	]
Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

В четырёх заданных точках на плоскости расположены прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.

Решение

Среди данных точек выберем две наиболее северные (если есть несколько наиболее северных точек, то выбираем любые две из них). Одну из сторон каждого прямого угла в этих точках направим на юг, а другие стороны направим навстречу друг другу. В результате будет освещена вся полуплоскость южнее этих двух прожекторов. С помощью двух оставшихся прожекторов можно осветить полуплоскость севернее их.

Прислать комментарий

Задача 78557

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Вдоль коридора положено несколько кусков ковровой дорожки. Куски покрывают весь коридор из конца в конец без пропусков и даже налегают друг на друга, так что над некоторыми местами пола они лежат в несколько слоев. Доказать, что можно убрать несколько кусков, возможно, достав их из-под других и оставив остальные в точности на тех же местах, где они лежали прежде, так что коридор по-прежнему будет полностью покрыт, и общая длина оставленных кусков будет меньше удвоенной длины коридора.

Решение

Выберем среди всех кусков ковровой дорожки, покрывающих левый конец коридора, тот, у которого правый конец самый правый, и обозначим этот кусок I₁. После того как выбран кусок I_k, выбираем среди всех кусков, покрывающих его правый конец, тот, у которого правый конец самый правый. Таким образом выберем несколько кусков, полностью покрывающих коридор. Остается доказать, что сумма их длин не превосходит 2. Кусок I_{k + 2} не имеет общих точек с I_k, так как иначе вместо I_{k + 1} мы должны были бы выбрать I_{k + 2}. Поэтому каждая точка коридора длиной 1 покрыта не более чем двумя кусками I_k, т. е. сумма длин этих кусков не превосходит 2.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]