Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 275]      

Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках K, N и M. Известно, что в треугольнике KNM углы N и M равны соответственно 60° и 75°, а произведение всех его сторон равно  9(1 + ).  Найдите стороны треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Oкружность, описанная около треугольника BIC, пересекает прямые AB и AC в точках E и F соответственно. Докажите, что прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что  KM = MA.  Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. Найдите AE, если  AB = 10,  AC = 16,  AD = 15.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 275]