Страница: << 191 192 193 194 195 196 197 >> [Всего задач: 1024]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64983

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности, касающейся сторон AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N соответственно. Точки A', B', C', D' – середины отрезков LM, MN, NK, KL. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми AA', BB', CC', DD', – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65747

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Окружность ω вписана в треугольник ABC, в котором  AB < AC.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке A'. Точка X выбирается на отрезке A'A так, что отрезок A'X не пересекает ω. Касательные, проведённые из X к ω, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма  XY + XZ  не зависит от выбора точки X.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108182

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вокруг треугольника ABC описана окружность, к ней через точки A и B проведены касательные, которые пересекаются в точке M. Точка N лежит на стороне BC, причём прямая MN параллельна стороне AC. Докажите, что  AN = NC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108682

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Теорема синусов ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108945

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вневписанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B₂, C₂ и A₂ соответственно. Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке P, прямые A₁C₁ и A₂C₂ – в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 191 192 193 194 195 196 197 >> [Всего задач: 1024]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями