Версия для печати
Убрать все задачи

---

Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

   Решение

---

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что

б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что  CAM = ABN и  CBM = BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

   Решение

---

В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66697

Темы:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116580

Темы:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом в точке P. Через центр ω₁ проведена прямая l₁, касающаяся ω₂. Аналогично прямая l₂ касается ω₁ и проходит через центр ω₂. Оказалось, что прямые l₁ и l₂ непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l₁ и l₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116670

Темы:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку A – в точке X. Известно, что  XY = YZ  и  AY = BZ.  Докажите, что прямые XZ и BC перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78177

Тема:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O₁ и O₂. Пусть a₁ и a₂ — внутренние касательные к этим окружностям, a₃ и a₄ — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a₅ и a₆ — касательные к окружности с центром в O₁, проведённые из точки O₂, a₇ и a₈ — касательные к окружности с центром в точке O₂, проведённые из точки O₁. Обозначим через O точку пересечения a₁ и a₂. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a₃ и a₄, вторая касалась a₅, a₆, a₇, a₈, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116083

Темы:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Фиксированы две окружности w₁ и w₂, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой L строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w₁ и w₂ соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w₁ и w₂. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ, лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями