Страница:
<< 37 38 39 40
41 42 43 >> [Всего задач: 404]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек
пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного
четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из
прямоугольников.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого
звена равна 
. Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.
Из точки
M внутри треугольника опущены перпендикуляры на высоты. Оказалось, что отрезки высот от вершин до оснований этих перпендикуляров равны между собой. Докажите, что в этом случае они равны диаметру вписанной в треугольник окружности.
На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 12,
взяты точки A и B, причём
OA = 15, AB = 5 и A лежит между O и B.
Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания
которых лежат по одну сторону от прямой OB. Найдите площадь
треугольника ABC, где C — точка пересечения этих касательных.
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, а
угол между ними равен 
. Пусть O1, O2, O3 и
O4 — центры окружностей, описанных соответственно около
треугольников AMB, BCM, CDM и DAM. Найдите отношение площадей
четырехугольников ABCD и
O1O2O3O4.
Страница:
<< 37 38 39 40
41 42 43 >> [Всего задач: 404]
Фильтр
