Страница:
<< 1 2 3 4 5 6
7 >> [Всего задач: 33]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 10,11
|
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной
плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
На стороне
AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM
точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной
окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка
I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности,
касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через
середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани
тетраэдра имеют площади
P1,
P2,
P3,
P4. Докажите, что а) в
правильном тетраэдре
P1 ≤
P2 +
P3 +
P4; б) если
S1,
S2,
S3,
S4
— площади соответствующих граней тетраэдра, то
P1S1 ≤
P2S2 +
P3S3 +
P4S4.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если
проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань.
Докажите, что больших граней не больше 6.
Дана правильная треугольная пирамида SABC, ребро основания которой равно 1. Из вершин A и B основания ABC проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6
7 >> [Всего задач: 33]