Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше $\pi$, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Дано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$.
Докажите, что
а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;
б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Высота четырехугольной пирамиды
SABCD проходит через точку пересечения диагоналей
ее основания
ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры
AA1
,
BB1
,
CC1
,
DD1
на прямые
SC ,
SD ,
SA и
SB соответственно.
Оказалось, что точки
S ,
A1
,
B1
,
C1
,
D1
различны и лежат на
одной сфере. Докажите, что прямые
AA1
,
BB1
,
CC1
,
DD1
проходят
через одну точку.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]
Фильтр
