Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 158]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64879

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Докажите, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108202

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65049

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A₁ на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
  б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67380

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$; $AD$, $BE$ и $CF$ – биссектрисы; $P$, $Q$ – проекции $A$ на $EF$ и $BC$; $R$ – вторая точка пересечения окружности $DEF$ с прямой $AD$. Докажите, что $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53910

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Две окружности пересекаются в точках A и B; AM и AN – диаметры окружностей. Докажите, что точки M, N и B лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 158]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями