Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56934  [Прямая Симсона]

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Прямая Симсона ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65019

Темы:   [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65047

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.
Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65114

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B₁ и B₂ соответственно. Из точек B₁ и B₂ провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются ω в точках K₁ и K₂ соответственно. Докажите, что точки B, K₁ и K₂ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65801

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями