Задача 109774

Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тригонометрические уравнения ] [ Производные высших порядков ] [ Методы математического анализа (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Авторы: Агаханов Н.Х., Голованов А.С., Сендеров В.А.

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
Докажите, что α=γ или α=τ .

Решение

Первое решение. Без ограничения общности можно считать α-β0 , γ-τ0 . Положим a= , b= , c= , d= , тогда условие задачи перепишется в виде

sin ax cos bx= sin cx cos dx,
где a>b0 , c>d0 .

Наименьший положительный корень x₀ левой части– число или , а правой– или . Если a=c , то cos bx= cos dx и, значит, b=d . Из этих равенств следует требуемое.

Пусть x₀= . Если = , то a=2d , и из равенства функций sin2dx cos bx= sin cx cos dx следует
2 sin dx cos bx= sin cx.
Приравнивая наименьшие положительные корни левой и правой частей, получаем c=d (что невозможно) либо c=2b . В последнем случае sin bx= sin dx , так что b=d . Тогда sin ax= sin cx , т.е. a=c . Так же a=c и b=d в случае = . Наконец, в случае = также получаем b=d и a=c .

Второе решение.
sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x (1)
Продифференцируем данное равенство и положим x=0 :
α cosα x+β cosβ x=γ cosγ x+τ cosτ x α+β=γ+τ.
Возьмем третью производную и подставим x=0 :
-α3 cosα x-β3 cosβ x=-γ3 cosγ x-τ3 cosτ x α3+β3=γ3+τ3.
Мы получили систему
α+β=γ+τ,α3+β3=γ3+τ3 α2-αβ+β2=γ2-γτ+τ2, α2+2αβ+β2=γ2+2γτ+τ2
αβ=γτ, α+β=γ+τ пары (α,β) и (γ,τ) совпадают, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	03.5.11.1