Задача 110187

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Бадзян А.И.

В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

Решение

  Пусть NP – диаметр описанной окружности. Тогда  ∠NBP = ∠NAP = 90°,  точка P – середина дуги AC, поэтому  ∠ABP = ∠CBP,  то есть BP – биссектриса угла ABC. Следовательно, I лежит на BP (см. рис.).

  Диаметр NP является серединным перпендикуляром к отрезку AC, следовательно, NP проходит через M. Как известно (см. задачу 53119), треугольник API – равнобедренный  (AP = IP).  AM – высота прямоугольного треугольника NAP, поэтому  IP : MP = AP : MP = NP : AH = NP : IP.  Отсюда следует подобие треугольников PMI и PIN, значит,  ∠PMI = ∠PIN.
  Но  ∠IMA = ∠PMI – 90°,  а из прямоугольного треугольника BNI:  ∠INB = ∠PIN – IBN = ∠PIN – 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	4
	1
Класс
Класс	9
задача
Номер	05.4.9.4
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	4
	1
Класс
Класс	10
задача
Номер	05.4.10.3