Задача 111809

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Скробот Д.

Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторонAB и AC в точках D и E соответственно. Пусть P – произвольная точка на большей дуге DE окружности ω, F – точка, симметричная точке A относительно прямой DP, M – середина отрезка DE. Докажите, что угол FMP – прямой.

Решение

Пусть G – точка, симметричная точке A относительно прямой EP. Из симметрии  PF = PA = PG,  а также  FD = AD,  GE = AE.  Поскольку AD и AE – равные отрезки касательных,  FD = GE.  Далее,  ∠(, )  (угол от вектора до вектора , отсчитываемый против часовой стрелки) равен
∠ADE = 2∠BDP = ∠DPE + 2∠DEP  и аналогично  ∠(, ) = ∠AED + 2∠CEP = ∠DPE + 2∠EDP.  Значит,
∠(, ) = ∠(, ) + ∠(, ) = (∠DPE + 2∠EDP) + (∠DPE + 2∠DEP) = 2(∠DPE + ∠DEP + ∠EDP) = 360°,  то есть векторы и сонаправлены и равны. Следовательно, FDGE – параллелограмм. Точка M – середина диагонали DE, значит, она также является серединой диагонали FG. Следовательно, PM – медиана (а значит, и высота) равнобедренного треугольника FPG.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	08.4.10.8