|
|
 |
Условие
Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при n ≠ 4 не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.
Решение
Случай n = 3 разобран в задаче 60867. Отсюда сразу следует невозможность существования правильного 3k-угольника (в частности, шестиугольника) с вершинами в узлах решетки.
Пусть n ≠ 3, 4, 6. Предположим, что удалось построить правильный n-угольник с вершинами в узлах. Далее можно рассуждать по разному.
Способ 1. Для трёх последовательных вершин A, B, C нашего n-угольника построим параллелограмм ABCD. Его четвёртая вершина D, очевидно, тоже попадает в узел. Проделав такое построение для каждых трёх последовательных вершин, мы получим n новых узлов решетки. Нетрудно проверить, что эти узлы не совпадают и лежат внутри исходного n-угольника. В силу симметрии они образуют новый правильный n-угольник, лежащий внутри исходного.
Повторив для него то же построение, мы получим еще один – еще меньший – правильный n-угольник, и так далее. Но бесконечно эта процедура продолжаться не может, так как исходный многоугольник содержит лишь конечное число узлов решетки. Противоречие.
Способ 2. Рассмотрим равнобедренный тр-к ABC (A, B, C – последовательные вершины n-угольника). Из теоремы косинусов следует, что
cos ∠ABC – рациональное число. Согласно задаче 61103 отсюда следует, что
∠ABC = π/3, π/2 или 2π/3, то есть n = 3, 4 или 6. Противоречие.
Замечания
1. Способ 1 взят из книги И.Н. Сергеева, С.Н. Олехника, С.Б. Гашкова "Примени математику", зад 16.22.
2. См. также статью А.А. Егорова "Решетки и правильные многоугольники", где подробно обсуждается не только эта задача, но и другие, связанные с ней результаты.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Числа, дроби, системы счисления |
| Тема | Системы счисления |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Рациональные и иррациональные числа |
| Тема | Дроби |
| задача | |
| Номер | 05.030 |
