|
|
 |
Условие
В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.
Решение
Пусть биссектриса CI повторно пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точке S. Тогда точка S – центр окружности Г (см. задачу 53119). Из симметрии точка Z лежит на прямой SC.
Пусть общие касательные к окружностям ω и Г касаются Г в точках M и N (см. рис.). Линия центров SI является серединным перпендикуляром к отрезку MN, а прямая MZ касается Г, то ∠IMN = ∠INM = ∠IMZ. Значит, MI – биссектриса угла ZMN, то есть расстояния от I до ZM и MN равны. Поскольку ω касается ZM, она также касается прямой MN в некоторой точке Z'; из симметрии, эта точка лежит на SI.
Из прямоугольного треугольника SMZ получаем SZ·SZ' = SM2 (см. задачу 56452). Это означает, что при инверсии относительно окружности Г точка Z' перейдёт в точку Z. Значит, окружность ω, содержащая точки X, Y и Z', перейдёт в описанную окружность треугольника XYZ. При этой инверсии прямая AB переходит в окружность Ω. Поскольку ω и AB касаются, их образы также будут касаться, что и требовалось.
Замечания
Другое решение можно получить, сделав инверсию относительно окружности ω. При этой инверсии: точки A, B, C переходят в середины
A", B", C" сторон B'C', C'A', A'B' треугольника с вершинами в точках касания ω со сторонами треугольника ABC; окружность Г переходит
в прямую XY, которая содержит среднюю линию A"B" треугольника A'B'C'; описанная окружность треугольника XYZ переходит
в окружность ω', симметричную ω относительно XY. Значит, надо доказать, что ω' касается описанной окружности треугольника A"B"C".
А это верно, поскольку при симметрии относительно XY последняя окружность переходит в описанную окружность треугольника A"B"C", которая касается ω.
