Задача 65742

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Богданов И.И., Кожевников П.А.

Окружность ω касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность ω пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что  KS || AC  и  LT || AB.  Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.

Решение

  Если  l || BC,  утверждение очевидно в силу симметрии относительно серединного перпендикуляра к BC.
  Пусть прямые l и BC пересекаются в точке X (см. рис.). Из параллельности получаем  XB : XT = XK : XL = XS : XC,  откуда  XT·XS = XB·XC = XP·XQ.  Следовательно, точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.

Замечания

Можно показать, что полученная окружность касается прямых KS и LT в точках S и T соответственно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2