Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 48]
Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат на сторонах AB и BC соответственно, причём BP = BQ. Пусть H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ – прямой.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение a/d рационально. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Можно ли покрыть плоскость окружностями так, чтобы через каждую точку
проходило ровно 1988 окружностей?
Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
3) среди чисел нет равных;
4) все числа не больше 100?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Функция f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано,
что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 48]
Все авторы
>>
Васильев Н.Б. 
