Этапы:
-
Региональный этап
(23 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE
и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в
точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M
и N лежат на одной окружности.
Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
Существуют ли три попарно различных ненулевых целых
числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых
степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 115359 (#06.4.10.3) |
|
|
|
Решение |
Задача 115360 (#06.4.10.4) |
|
|
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
|
|
|
Решение |
Задача 115361 (#06.4.10.5) |
|
|
Ненулевые числа a, b, c таковы, что ax² + bx + c > cx при любом x. Докажите, что cx² – bx + a > cx – b при любом x.
|
|
|
Решение |
Задача 115362 (#06.4.10.6) |
|
|
Прямые, касающиеся окружности ω в точках B и D, пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P, высекает на окружности хорду AC. Через точку отрезка AC проведена прямая, параллельная BD. Докажите, что она делит длины ломаных ABC и ADC в одинаковых отношениях.
|
|
|
Решение |
Задача 115363 (#06.4.10.7) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
