a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_n+1 ≤ 10a_n  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

   Решение

Можно ли замостить доску 2003×2003 доминошками 1×2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1×3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно считаются горизонтальными, а две другие – вертикальными.)

   Решение

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 17]      

Прямые AK, BK и CK, где K — точка Лемуана треугольника ABC, пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что K — точка Лемуана треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 17]