Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109745  (#01.5.10.1)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109738  (#01.5.10.2)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На прямой выбрано 100 множеств A₁, A₂, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A₁, A₂, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108142  (#01.5.10.3)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема синусов ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109740  (#01.5.10.4)

Темы:   [ Деревья ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Связность и разложение на связные компоненты ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причём между каждыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь по дорогам. Известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит по одной дороге. Докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из каждого города попасть в любой другой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109741  (#01.5.10.5)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Многочлен  P(x) = x³ + ax² + bx + c  имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где  Q(x) = x² + x + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  P(2001) > ¹/₆₄.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями