Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 176]

Задача 56951 (#05.101)

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны, получим $\triangle$ A₁B₁C₁. Проделав для него ту же операцию, получим $\triangle$ A₂B₂C₂, а затем $\triangle$ A₃B₃C₃. Докажите, что $\triangle$ A₃B₃C₃ $\sim$ $\triangle$ ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56952 (#05.102)

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 6
Классы: 9

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99) равна ${\frac{1}{4}}$ $\left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$ 1 - ${\frac{d^2}{R^2}}$ $\left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$ S_ABC, где d = PO.

Прислать комментарий Решение

Задача 56953 (#05.103)

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 6
Классы: 9

Из точки P опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны треугольника ABC. Прямая l_a соединяет середины отрезков PA и B₁C₁. Аналогично определяются прямые l_b и l_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56954 (#05.104)

Темы:	[	Подерный (педальный) треугольник	]
Темы:	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 6
Классы: 9

а) Точки P₁ и P₂ изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу 5.99)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка P₁P₂.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек P₁ и P₂ проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P₁ перпендикулярны прямым, соединяющим точку P₂ с вершинами треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56955 (#05.115B)

Темы:	[	Подерный (педальный) треугольник	]
Темы:	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 6
Классы: 9

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 176]