Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65748  (#9.8)

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a² + ¹/_b² + ¹/_c² + ¹/_d² ≤ ¹/_a²b²c²d².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65756  (#10.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Точка Лемуана ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Средняя линия треугольника ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором  AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65764  (#11.8)

Темы:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC медианы AM_A, BM_B и CM_C пересекаются в точке M. Построим окружность Ω_A, проходящую через середину отрезка AM и касающуюся отрезка BC в точке MA. Аналогично строятся окружности Ω_B и Ω_C. Докажите, что окружности Ω_A, Ω_B и Ω_C имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями