Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66224  (#21)

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Выпуклый шестиугольник A₁A₂...A₆ описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего r можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче r?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66225  (#22)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Прямая Симсона ] [ Описанные четырехугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

На диагонали AC вписанного четырёхугольника ABCD взяли произвольную точку P и из неё опустили перпендикуляры PK, PL, PM, PN, PO на прямые AB, BC, CD, DA, BD соответственно. Докажите, что расстояние от P до KN равно расстоянию от O до ML.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66226  (#23)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66227  (#24)

Темы:   [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Даны два тетраэдра. Ни у одного из них нет двух подобных граней, но каждая грань первого тетраэдра подобна какой-то грани второго.
Обязательно ли эти тетраэдры подобны?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями