Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Даны сто чисел x₁, x₂,..., x₁₀₀, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  x_k+1 – x_k  меньше ¹/₅₀ каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.

Прислать комментарий

Решение

n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что не более одной вершины тетраэдра обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше 180^o.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Прислать комментарий

Решение

В углах шахматной доски 3 на 3 стоят кони: в верхних углах — белые, в нижних — чёрные. Доказать, что для того, чтобы им поменяться местами, потребуется не менее 16 ходов. (Кони не обязательно ходят сначала белый, потом чёрный. Ходом считается ход одного коня.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]