Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
I Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2005 г.)
>>
10 класс
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.
Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.
РешениеПрямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.
РешениеВ одной из вершин куба ABCDEFGH сидит заяц, но охотникам он не виден. Три охотника стреляют залпом, при этом они могут ''поразить'' любые три вершины куба. Если они не попадают в зайца, то до следующего залпа заяц перебегает в одну из трёх соседних (по ребру) вершин куба. Укажите, как стрелять охотникам, чтобы обязательно попасть в зайца за четыре залпа.
(В решении достаточно написать четыре тройки вершин, в которые последовательно стреляют охотники.)
РешениеИспользуя пять двоек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 11 до 15.
РешениеВ токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки — деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трех заготовок можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Сколько всего деталей можно сделать из 9-ти заготовок? А из 14-ти? Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?
РешениеВ окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.
Решение
Задачи
Задача 103931 |
|
|
Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.
Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.
|
|
|
Решение |
Задача 103930 |
|
|
Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.
|
|
Решение |
Задача 103932 |
|
|
В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.
|
|
|
Решение |
Задача 103933 |
|
На плоскости даны два отрезка A1B1 и A2B2, причём A2B2/A1B1 = k < 1. На отрезке A1A2 взята точка A3, а на продолжении этого отрезка за точку А2 – точка А4 так, что A3А2/А3А1 = А4А2/А4А1 = k. Аналогично на отрезке В1В2 берётся точка В3, а на продолжении этого отрезка за точку В2 – точка В4 так, что
В3В2/В3В1 = В4В2/В4В1 = k. Найти угол между прямыми А3В3 и А4В4.
|
|
|
Решение |
Задача 103934 |
|
Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми также равно 1. Из точки C одной окружности проведены касательные CA, CB к другой. Прямая CB вторично пересекает первую окружность в точке A'. Найти расстояние AA'.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
