Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 103931

Темы:	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.
Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103930

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103932

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
Темы:	[	Хорды и секущие (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103933

Темы:	[	Преобразования подобия (прочее)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Вим Пайлс

На плоскости даны два отрезка A₁B₁ и A₂B₂, причём ^A₂B₂/_A₁B₁ = k < 1. На отрезке A₁A₂ взята точка A₃, а на продолжении этого отрезка за точку А₂ – точка А₄ так, что ^A₃А₂/_А₃А₁ = ^А₄А₂/_А₄А₁ = k. Аналогично на отрезке В₁В₂ берётся точка В₃, а на продолжении этого отрезка за точку В₂ – точка В₄ так, что
^В₃В₂/_В₃В₁ = ^В₄В₂/_В₄В₁ = k. Найти угол между прямыми А₃В₃ и А₄В₄.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103934

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми также равно 1. Из точки C одной окружности проведены касательные CA, CB к другой. Прямая CB вторично пересекает первую окружность в точке A'. Найти расстояние AA'.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]