Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]

Задача 105148

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Деревья	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Федоров Р.М.

В стране 15 городов, некоторые из них соединены авиалиниями, принадлежащими трём авиакомпаниям. Известно, что даже если любая из авиакомпаний прекратит полеты, можно будет добраться из каждого города в любой другой (возможно, с пересадками), пользуясь рейсами оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количество авиалиний может быть в стране?

Прислать комментарий

Решение

Задача 105163

Темы:	[	Итерации	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Предел функции	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел a₁, a₂, ..., такая, что P(a₁) = 0, P(a₂) = a₁, P(a₃) = a₂ и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности a₁, a₂, ... различны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108121

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105149

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Чеботарев А.С.

Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

Прислать комментарий

Решение

Задача 105153

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Хачатурян А.В.

Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого n выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]