Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]

Задача 107857

Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Авторы: Анисов С.С., Произволов В.В.

Пусть a, b, c – такие целые неотрицательные числа, что 28a + 30b + 31c = 365. Докажите, что a + b + c = 12.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107858

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Произволов В.В.

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108164

Темы:	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Площадь параллелограмма	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Ковальджи А.К.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Построили квадрат ACPQ и прямоугольники CDMN и AEKL, у которых AL = AB и
CN = CB. Докажите, что площадь квадрата ACPQ равна сумме площадей прямоугольников AEKL и CDMN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107859

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Покрытия	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Агеев С.М.

Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

Прислать комментарий Решение

Задача 107864

Темы:	[	Производная в точке	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Wolfram S

Про непрерывную функцию f известно, что:

f определена на всей числовой прямой;
f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную);
график функции f не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна.

Следует ли отсюда, что график f — прямая?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]