Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]

Задача 105158

Темы:	[	Итерации	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Предел функции	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Пусть P(x) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел a₁, a₂, ... такова, что P(a₁)= 0, P(a₂) = a₁, P(a₃) = a₂ и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P(x)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108122

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Точки P и Q симметричны точке C относительно прямых AB и AD соответственно.
Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр H треугольника ABD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105160

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Межиров И.В., Спивак А.В., Чернов А. А.

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105161

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Итерации	]
	[	Обратные тригонометрические функции	]
	[	Многочлены (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Чеботарев А.С.

Дана бесконечная последовательность многочленов P₁(x), P₂(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций f₁(x), f₂(x), ..., f_N(x), композициями которых можно записать любой из них (например, P₁(x) = f₂(f₁(f₂(x))))?

Прислать комментарий

Решение

Задача 105167

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Отношение порядка	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]