ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Трапеция ABCD такова, что на её боковых сторонах AD и BC существуют такие точки P и Q соответственно, что  ∠APB = ∠CPD,  ∠AQB = ∠CQD.
Докажите, что точки P и Q равноудалены от точки пересечения диагоналей трапеции.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109570  (#94.5.9.6)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Натуральные числа от 1 до 1000 по одному выписали на карточки, а затем накрыли этими карточками какие-то 1000 клеток прямоугольника 1x 1994 . Если соседняя справа от карточки с числом n клетка свободна, то за один ход ее разрешается накрыть карточкой с числом n+1 . Докажите, что нельзя сделать более полумиллиона таких ходов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108203  (#94.5.9.7)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Теорема синусов ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Трапеция ABCD такова, что на её боковых сторонах AD и BC существуют такие точки P и Q соответственно, что  ∠APB = ∠CPD,  ∠AQB = ∠CQD.
Докажите, что точки P и Q равноудалены от точки пересечения диагоналей трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109572  (#94.5.9.8)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Покрытия ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Перлин А.

Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата n ×n, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата 100×100 , состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате 100× 100 .)
Прислать комментарий     Решение


Задача 109558  (#94.5.10.1)

Темы:   [ Уравнения с модулями ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Даны три приведённых квадратных трехчлена:  P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение  |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)|  имеет не более восьми корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109567  (#94.5.10.2)

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Кохась М.

На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй – 200, а в третьей – 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .