Версия для печати
Убрать все задачи

---

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – умный или дурак? В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F . При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

   Решение

---

Отличник Вася складывает обыкновенные дроби без ошибок, а Петя складывает дроби так: в числитель пишет сумму числителей, а в знаменатель – сумму знаменателей. Учительница предложила ребятам сложить три несократимые дроби. У Васи получился правильный ответ 1. Мог ли у Пети получиться ответ меньше ¹/₁₀?

   Решение

---

Вокруг окружности описан пятиугольник, длины сторон которого – целые числа, а первая и третья стороны равны 1.
На какие отрезки делит вторую сторону точка касания?

   Решение

---

Целые числа x, y и z таковы, что  (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z.  Докажите, что число  x + y + z  делится на 27.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109521  (#93.5.9.1)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109522  (#93.5.9.2)

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60^o . Докажите, что AC+BD1 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109523  (#93.5.9.3)

Темы:   [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Квадратный трёхчлен  f(x) разрешается заменить на один из трёхчленов      или     Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена  x² + 4x + 3  получить трёхчлен  x² + 10x + 9?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109524  (#93.5.9.4)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109525  (#93.5.9.5)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Целые числа x, y и z таковы, что  (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z.  Докажите, что число  x + y + z  делится на 27.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями