Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
1993-1994
>>
Заключительный этап
>>
11 класс
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Пусть a , b и c – стороны треугольника, ma , mb и mc – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что
+ 
+
6D.
Решение
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна. Решение
Убрать все задачи
На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй – 200, а в третьей – 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?
РешениеПусть a , b и c – стороны треугольника, ma , mb и mc – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что
РешениеВ клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Даны такие натуральные числа a и b, что число a+1/b + b+1/a является целым.
Докажите, что наибольший общий делитель чисел a и b не превосходит числа
.
Внутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2
k 50 . Докажите, что можно отметить 2k
вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри 2k -угольника с отмеченными
вершинами.
Две окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S2 в точке C и пересекает окружность S1 в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две
фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать
параллельно линиям сетки на целое число клеток.
Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,
записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй
фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 109551 (#94.5.11.1) |
|
|
Докажите, что наибольший общий делитель чисел a и b не превосходит числа
|
|
Решение |
Задача 109552 (#94.5.11.2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109553 (#94.5.11.3) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109554 (#94.5.11.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109555 (#94.5.11.5) |
|
|
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
