Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 109664 (#98.5.11.5)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Медников Л.Э., Евдокимов М.А.

Внутри параболы y = x² расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом n > 1 окружность ω_n касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_n–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109665 (#98.5.11.6)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Возвратные уравнения	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109666 (#98.5.11.7)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Метод ГМТ в пространстве	]
	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.

Прислать комментарий Решение

Задача 109667 (#98.5.11.8)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Непрерывность и компактность	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]