Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]

Задача 108158 (#99.5.11.3)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Автор: Сонкин М.

Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 и S4 – окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.

Прислать комментарий Решение

Задача 109694 (#99.5.11.4)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Токарев С.И.

В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n² фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

Прислать комментарий Решение

Задача 109687 (#99.5.11.5)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109688 (#99.5.11.6)

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).

Прислать комментарий Решение

Задача 109689 (#99.5.11.7)

Темы:	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда AB·CD = AC·BD = AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]