Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите максимальное число N, для которого существуют такие N последовательных натуральных чисел, что сумма цифр первого числа делится на 1, сумма цифр второго числа – на 2, сумма цифр третьего числа – на 3, ..., сумма цифр N-го числа – на N.

   Решение

---

Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Пусть M и N – центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD соответственно. Докажите, что  OM = KN.

   Решение

---

a и b – такие различные натуральные числа, что  ab(a + b)  делится на  a² + ab + b².  Докажите, что  |a – b| > .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109734  (#01.5.11.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Производная и касательная ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Приведенные квадратные трёхчлены  f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109735  (#01.5.11.6)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

a и b – такие различные натуральные числа, что  ab(a + b)  делится на  a² + ab + b².  Докажите, что  |a – b| > .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109736  (#01.5.11.7)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Раскраски ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на  2001 – k  республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109737  (#01.5.11.8)

Темы:   [ Касательные к сферам ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Пересекающиеся сферы ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A , B и C и вторично пересекает ребра SA , SB и SC в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1 , B1 и C1 , пересекаются в точке O . Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1 .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями