Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 109734 (#01.5.11.5)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Производная и касательная	]
	[	Выпуклость и вогнутость (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Берлов С.Л., Подлипский О.К.

Приведенные квадратные трёхчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109735 (#01.5.11.6)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

a и b – такие различные натуральные числа, что ab(a + b) делится на a² + ab + b². Докажите, что |a – b| > .

Прислать комментарий

Решение

Задача 109736 (#01.5.11.7)

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Раскраски	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на 2001 – k республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109737 (#01.5.11.8)

Темы:	[	Касательные к сферам	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Пересекающиеся сферы	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A , B и C и вторично пересекает ребра SA , SB и SC в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1 , B1 и C1 , пересекаются в точке O . Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1 .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]