Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109750  (#01.5.9.6)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В компании из  2n + 1 человека для любых n человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.
Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108141  (#01.5.9.7)

Темы:   [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной окружности треугольника ABC лежит на описанной окружности треугольника KBM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109752  (#01.5.9.8)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109745  (#01.5.10.1)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109738  (#01.5.10.2)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На прямой выбрано 100 множеств A₁, A₂, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A₁, A₂, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями