ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.

Вниз   Решение


На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?

ВверхВниз   Решение


(Число разбиений; предлагалась на Всесоюзной олимпиаде по программированию 1988 года) Пусть P(n) — число разбиений целого положительного n на целые положительные слагаемые (без учёта порядка, 1 + 2 и 2 + 1 — одно и то же разбиение). При n = 0 положим P(n) = 1 (единственное разбиение не содержит слагаемых). Построить алгоритм вычисления P(n) для заданного n.

ВверхВниз   Решение


Решите в целых числах уравнение  19x³ − 84y² = 1984.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 109734  (#01.5.11.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Производная и касательная ]
[ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Приведенные квадратные трёхчлены  f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109735  (#01.5.11.6)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

a и b – такие различные натуральные числа, что  ab(a + b)  делится на  a² + ab + b².  Докажите, что  |a – b| > .

Прислать комментарий     Решение

Задача 109736  (#01.5.11.7)

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Раскраски ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на  2001 – k  республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109737  (#01.5.11.8)

Темы:   [ Касательные к сферам ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Пересекающиеся сферы ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A , B и C и вторично пересекает ребра SA , SB и SC в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1 , B1 и C1 , пересекаются в точке O . Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1 .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .