Версия для печати
Убрать все задачи

---

Многоугольник  A₁A₂...A_2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при n нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при n четном оставшаяся пара сторон равна по длине.

   Решение

---

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа,  a₁ < a₂ < ... < a₁₀.  Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что  a₁₀ > 500.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109850  (#06.5.10.1)

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Ломаные ] [ Ломаные внутри квадрата ] [ Четность и нечетность ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Таблицы и турниры (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109846  (#06.5.10.2)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109852  (#06.5.10.3)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Раскраски ] [ Индукция в геометрии ] [ Системы точек ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109847  (#06.5.10.4)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L . Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности σ .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109854  (#06.5.10.5)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа,  a₁ < a₂ < ... < a₁₀.  Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что  a₁₀ > 500.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями